Inhalt des Viviani-Fensters

Um den Inhalt eines der beiden Viviani-Fenster, also die Größe der Kugeloberfläche, die durch die Kurve begrenzt ist, zu bestimmen, kann man die so genannte Streifenmethode (vgl. [10], S.38 - 39) verwenden. Diese wird im Folgenden benutzt, vergleiche [10], S.38-39. Dazu wird die Kugel in Breitenkreise im Abstand dz zerlegt, wie in Abbildung 16 dargestellt ist.


Abb. 16: Kugel mit Breitenkreisen

Würde man jetzt den entstandenen Streifen ausschneiden, also in Abbildung 16 zum Beispiel den Streifen zwischen den beiden mittleren Kreisen, der von der Viviani-Kurve begrenzt ist, so erhält man ein Stück der Oberfläche der Kugel, das wegen seiner geringen Breite oben und unten von fast gleichlangen Bögen beschränkt ist.
Der Abstand zwischen diesen Bögen wird ebenfalls mit einem Bogenstück repräsentiert, nämlich mit dem, das auf dem Längenkreis (blau in Abbildung 17) von den Schnittpunkten S1 und S2 der Breitenkreise mit dem Längenkreis begrenzt wird. Seien die Schnittpunkte der Viviani-Kurve mit dem unteren der beiden Kreise mit P und Q bezeichnet wie in Abbildung 17 dargestellt.
Dann ist die Fläche des Streifens ungefähr so groß, wie die Fläche eines Rechtecks mit der Länge des Bogens PQ und der Breite des Bogens S1S2.


Abb. 17: Kugel mit Schnittpunkten S1 und S2 der Breitenkreise mit dem Längenkreis

Damit erhält man mit der in diesem Kapitel immer benutzten Parametrisierung der Viviani-Kurve für das Flächendifferential dA (mit A sei wie gewohnt der Flächeninhalt gemeint)
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Daher erhält man für den Flächeninhalt A des von der Viviani-Kurve begrenzten Stücks der Kugeloberfläche das Integral über das Flächendifferential dA, also:
.
Der Flächeninhalt eines der beiden Viviani-Fenster beträgt also .

Auf dieses Ergebnis für eines der beiden Fenster der Viviani-Kurve kam auch Vincenzo Viviani, als er versuchte, die gestellte Aufgabe zu lösen. Damit kann man für die Restfläche der Halbkugel, auf der die Viviani-Kurve liegt, den Inhalt berechnen. Eine Halbkugel hat den Oberflächeninhalt und die insgesamt von der Viviani-Kurve begrenzte Fläche hat den Inhalt . Um den Inhalt der Restfläche zu berechnen muss man also von dem gesamten Oberflächeninhalt der Halbkugel die von der Viviani-Kurve begrenzte Fläche abziehen:
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Dieser Flächeninhalt der Restoberfläche der Halbkugel ist, wie man sieht, eine Quadratzahl und damit hat Vincenzo Viviani die Viviani-Kurve als Lösung der oben gestellten Aufgabe gefunden.