Für die Punkte und können die eben berechneten Tangentenvektoren dann einfach an der x-z-Ebene gespiegelt werden und man erhält die folgenden Tangentenvektoren:

  • für , also für :
  • für , also für :

Damit sind auch diese beiden Punkte Extrempunkte, da auch ihre Tangentenvektoren parallel zur x-z-Ebene sind und damit die Tangente bezüglich der x-z-Ebene die Steigung 0 hat.

In Abbildung 14 sind die vordersten und hintersten Punkte mit ihren Tangenten abgebildet.


Abb. 14: Tangenten der vordersten und hintersten Punkte der Viviani-Kurve


Der Normalenvektor einer Kurve ist gegeben durch die zweite Ableitung der Kurve und um den Einheitsnormalenvektor zu erhalten, teilt man den Normalenvektor wieder durch seine Länge. Man berechnet also:

und damit erhält man den Einheitsnormalenvektor als:
.

Jetzt berechnet sich der Binormalenvektor direkt aus dem Kreuzprodukt des Tangenteneinheitsvektors und des Normaleneinheitsvektors. Da Einheitsvektoren sind, ist auch ein Einheitsvektor.

Dieser berechnet sich für die Viviani-Kurve (mit Matlab über den Befehl cross für das Kreuzprodukt) zu:
.

Die drei Vektoren sind also Einheitsvektoren und stehen orthogonal aufeinander, sie bilden demnach das Frenet-3-Bein.


Abb. 15: Viviani-Kurve mit Frenet-3-Bein

In Abbildung 15 ist das Frenet-3-Bein dargestellt. Dabei ist der grüne Vektor der Tangentenvektor, der schwarze ist der Normalenvektor und der blaue ist der Binormalenvektor. In der Abbildung haben die Vektoren allerdings nicht die Länge 1, da sie sonst zu kurz und daher nicht gut erkennbar gewesen wären.