Tangente, Normale und Biormale der Viviani-Kurve

Der Tangentenvektor einer Kurve berechnet sich durch die erste Ableitung der Kurve. Dementsprechend ist der Tangentenvektor der Viviani-Kurve gegeben durch:

Da z.B. für die Bestimmung des Frenet-3-Beins der Einheitstangentenvektor benötigt wird, teilt man durch dessen Länge. Die Länge beträgt:

und damit erhält man den Einheitstangentenvektor
.

Beispiel:
Für und , also für die beiden Kugelpole (0,0,r) und (0,0,-r) erhält man jeweils den Richtungsvektor
als Tangentenvektor. Dieser Richtungsvektor ist parallel zur y-Achse, daher sind die Punkte (0,0,r) und (0,0,-r), wie im letzten Abschnitt schon angesprochen, Extrempunkte der Viviani-Kurve.

Auch der „Schnittpunkt“ (r,0,0) ist wie schon angesprochen ein Extrempunkt. Hier sind die beiden zueinander orthogonalen Tangentenvektoren gegeben durch

Die beiden Tangentenvektoren im Punkt (r,0,0) sind also parallel zur y-z-Ebene und damit ist dieser Punkt auch ein Extrempunkt, da die Tangente bezüglich der y-z-Ebene die Steigung 0 hat.

Die Tangenten der beiden Pole und des Schnittpunktes sind in Abbildung 13 dargestellt.

Für die beiden vordersten Punkte und die beiden hintersten Punkte sind die Tangenten parallel zur x-z-Ebene. Da die Viviani-Kurve symmetrisch ist bezüglich der x-z-Ebene, betrachtet man nur die Punkte und , also die beiden vordersten Punkte:

• für den Punkt , also für ist der Vektor der Tangentenvektor. Dieser ist parallel zur x-z-Ebene und damit ist der Punkt wie schon gesagt ein Extrempunkt, da die Tangente bezüglich der x-z-Ebene die Steigung 0 hat.
• für den Punkt also für ist der Vektor der Tangentenvektor. Dieser ist parallel zur x-z-Ebene und damit ist der Punkt wie schon gesagt Extrempunkt, da die Tangente bezüglich der x-z-Ebene die Steigung 0 hat.