Symmetrie, Lage, besondere Punkte und Risse der
Viviani-Kurve

Da die Viviani-Kurve symmetrisch bezüglich der x-y- und bezüglich der x-z-Ebene ist, ist sie invariant bezüglich einer Halbdrehung um die x-Achse.

Die Viviani-Kurve liegt aufgrund ihrer Konstruktion auf drei verschiedenen Flächen des Raumes, nämlich auf der Kugel, dem Zylinder und dem Kegel. Ihr unterster Punkt ist der untere Kugelpol, nämlich der Punkt (0,0,-r), der oberste Punkt der Viviani-Kurve ist dementsprechend der obere Kugelpol (0,0,r). Diese Punkte sind Extrempunkte der Viviani-Kurve, nämlich die Minima und Maxima bezüglich der x-y-Ebene. Auch der „Schnittpunkt“ (r,0,0) der Viviani-Kurve, also der Punkt, in dem sich die Kurve selbst überschneidet ist ein Extrempunkt der Kurve. Außerdem sind noch 4 weitere Punkte der Kurve Extremwerte, nämlich die beiden vordersten Punkte und , zwei hinterste Punkte und (vgl. [10], S.8). Alle diese Punkte sind in Abbildung 11 eingezeichnet.

Die Begründung, dass diese Punkte Extrempunkte sind, wird im nächsten Abschnitt "Tangente, Normale, Binormale" mit Hilfe der Tangente in diesen Punkten gegeben.

Die Risse der Viviani-Kurve erhält man, durch konstant setzten je einer der drei Parameterfunktionen.
Der Grundriss der Viviani-Kurve ist ein Kreis (hier mit Konstante 0), was zu erwarten war, da die Kurve auf einem Zylinder liegt, dessen „Grundriss“ ein Kreis ist, genauso wie der „Grundriss“ der Kugel ein Kreis ist und der des Kegels ebenfalls. Der Begriff Grundriss ist im Zusammenhang mit Flächen in Anführungszeichen gesetzt, da die Risse für Flächen nicht definiert sind und auch nicht betrachtet werden. In diesem Zusammenhang ist mit „Grundriss“ der Schnitt der Fläche mit der x-y-Ebene oder einer zu ihr parallelen Ebene gemeint, und dieser ist in den Fällen Kugel, Zylinder und Kegel jeweils ein Kreis.
Der Aufriss der Viviani-Kurve ist ein (schiefes) Parabelstück und der Seitenriss eine Schleife .
In Abbildung 12 sind die Risse der Viviani-Kurve dargestellt.

Der Plot der Viviani-Kurve mit ihren Rissen wurde in Matlab über Eingabe der folgenden Befehle erzeugt (hier mit r = 2):

>> t=0:0.1:10;
>> x = 2*cos(t)^2; y = 2*cos(t)*sin(t); z = 2*sin(t);
>> a = 0*t-2;
>> plot3(x,y,z,x,y,a,x,a,z,a,y,z)