Bogenlänge der Viviani-Kurve

Für die Viviani-Kurve ist die Berechnung nicht so einfach, denn es gilt:

Hier kann man das Problem schon erkennen, die Länge des Tangentenvektors ist über eine nicht auflösbare Wurzel beschrieben. Und damit ist die folgende Bogenlänge zu berechnen:

Das Integral über ist nicht exakt lösbar. Das Ergebnis der Integralberechnung mit Matlab enthält nämlich eine Funktion EllipticE, die das elliptische Legendre Integral der zweiten Art bezeichnet. Das elliptische Integral ist wie folgt definiert

und ist nicht exakt berechenbar. Für eine angegebene obere Grenze t lässt sich das Integral aber numerisch, also näherungsweise berechnen. Dies funktioniert mit Matlab mit Hilfe des Befehls quad. Die Funktion quad wendet die Simpson-Formel zur numerischen Integration an.
Die Simpson-Formel ist ein Verfahren der numerischen Quadratur (daher kommt der Befehl quad), bei dem eine Näherung eines Integrals über einer Funktion im Intervall [a,b] berechnet wird, indem man die Bildkurve der Funktion durch eine Parabel annähert (vgl. [H4]). Die Simpson-Formel zur numerischen Berechnung eines Integrals sieht wie folgt aus:
(aus [H4]).
Um die Matlab-Funktion quad benutzen zu können, muss eine Funktionsdatei erstellt werden, die den Integranden enthält. Die Funktionsdatei integrand.m sieht wie folgt aus:

function y = int( x ) % int berechnet das Integral von x
y = sqrt(1+cos(x).^2);

Ist diese Datei erstellt, kann im Befehlsfenster die Funktion quad benutzt werden. Hier wurde gewählt, es wird also die Gesamtlänge der Viviani-Kurve berechnet:

>> quad('integrand', 0, 2*pi)
ans =
7.6404

Das Integral berechnet sich also numerisch zu 7,6404. Da hierbei noch der Faktor r fehlt, ist die Länge der gesamten Viviani-Kurve also gegeben durch:

Die Länge hängt also vom Radius r der Kugel ab, auf der die Viviani-Kurve liegt, was anschaulich auch klar ist, denn je größer der Radius ist, desto länger muss auch die Kurve sein.

Im Beispiel in Abbildung 8 ist der Radius r = 3 und damit die Gesamtlänge der Kurve
.

Dabei ist die Länge gemessen worden von 0 bis , also in der Abbildung 8 vom Punkt „Schnittpunkt“ einmal den oberen und einmal den unteren Bogen entlang bis zurück zum Punkt „Schnittpunkt“. Möchte man nur ein Viertel der Länge berechnen, also z.B. die Länge vom Punkt „Schnittpunkt“ bis zum Punkt „oberster Punkt“, so berechnet man die Länge von 0 bis :

>> quad('integrand', 0, pi/2)
ans =
1.9101

Die Länge beträgt also . In dem Fall aus Abbildung 9 mit r = 3 ergibt sich die Länge vom Punkt „Schnittpunkt“ zum Punkt „oberster Punkt“ zu:
.
Dass dies tatsächlich ein Viertel der Gesamtlänge ist, lässt sich leicht nachrechnen, denn es gilt:
.

Da das Integral nicht genau berechnet werden kann, lässt sich auch keine allgemeine Formel für die Bogenlänge der Viviani-Kurve herleiten. Die Länge lässt sich also nur für angegebene t näherungsweise bestimmen.

Daher ist die Parametrisierung der Viviani-Kurve nach der Bogenlänge nicht möglich, deshalb werden im Folgenden die Eigenschaften Krümmung und Torsion auch nicht untersucht, sondern es wird auf andere Eigenschaften einer Kurve eingegangen, noch nicht angesprochen wurden.