Die Viviani-Kurve als Ortskurve

Die Viviani-Kurve ist nicht nur eine Schnittkurve von zwei Flächen, sondern auch eine Ortskurve. Sie ist nämlich die Menge aller Punkte auf der Kugel mit konstanter Abstandssumme von 2 Punkten, den so genannten Brennpunkten. Dabei werden die Entfernungen nicht auf der Kugeloberfläche, sondern durch die Kugel hindurch gemessen. Die Brennpunkte müssen aus Symmetriegründen (die Viviani-Kurve ist ebenensymmetrisch in Bezug auf die x-y-Ebene und die x-z-Ebene, mehr dazu im Kapitel "Symmetrie, Lage, besondere Punkte und Risse") von der Form
sein.
Die Variablen und werden jetzt der Einfachheit halber berechnet über die Abstandssumme der Punkte (r,0,0) und (0,0,r) von den beiden Brennpunkten. Damit die Abstandssumme des Punktes (r,0,0) von den Brennpunkten und die Abstandssumme des Punktes (0,0,r) von den Brennpunkten gleich sind, muss gelten:

Die konstante Abstandssumme ist dann:

Also . In Abbildung 4.8 sieht man die Viviani-Kurve mit Radius r = 3 mit ihren Brennpunkten und der konstanten Abstandssumme . Dass die Abstandssumme konstant ist für jeden beliebigen Kurvenpunkt, kann man in dem Programm Archimedes Geo 3D interaktiv erfahren. Dazu berechnet man die Abstandssumme als Summe der beiden blauen Vektoren (Abb.7) und sieht dann, dass bei Bewegung des Kurvenpunktes die Abstandssumme gleich bleibt.

Der folgende Link enthält eine Archimedes Geo 3D Datei der Viviani-Kurve mit ihren Brennpunkten und der Berechnung der konstanten Abstandssumme. Diese Datei enthält eine Animation, die den Kurvenpunkt über die Viviani-Kurve laufen lässt und man sieht, dass sich die Abstandssumme nicht ändert. Die Animation kann über das Menü "Extras" / "Animation(en) starten/stoppen" gestartet und wieder gestoppt werden.