Die Viviani-Kurve als Bahn eines Punktes

(vgl. [H5], S. 7-9)
Die Viviani-Kurve liegt wie in dem Kapitel "Die Viviani-Kurve als Schnitt zweier Flächen" schon gesehen, auf der Kugel um den Punkt (0,0,0) mit Radius r. Betrachtet man den umliegenden nicht mehr, sondern nur noch die Kugel und ihre Eigenschaften, so kann man die Längen- und Breitenkreise der Kugel, also die Koordinatenkurven der Kugel, so kann man diese als ein krummes Koordinatensystem ansehen mit den Koordinaten u und v (Abbildung 5).

Kurven auf der Kugel können in diesem Koordinatensystem definiert werden. Betrachtet man die Viviani-Kurve, so ist diese die Kurve auf der Kugel, für die u = v gilt (Abbildung 6).

Die Kurve auf der Kugel darf man aber nicht als Graph der Funktion u = v verstehen. Vielmehr ist die Viviani-Kurve die Bahn des Punktes, der sich auf dem (in Abb. 6 grünen) Längenkreis bewegt, während sich der Längenkreis selbst mit gleicher Geschwindigkeit um die z-Achse, also entlang des (in Abb. 6 grünen) Breitenkreises bewegt. Die Bahn dieses Punktes ist genau die Viviani-Kurve. (vgl. [H5], S.7)

Die im letzten Kapitel eingeführte Parameterform der Viviani-Kurve kann hier über die übliche Parameterform der Kugel

begründet werden. Denn mit der Viviani-Kurve als Kurve im Kugelkoordinatensystem für die u = v gilt, erhält man nach Einsetzen von u = v in die Parameterform der Kugel:
.
Für entspricht dies genau der im Kapitel "Die Viviani-Kurve als Schnitt zweier Flächen" eingeführten Parameterform für die Viviani-Kurve.