Um die Schnittkurve von Zylinder und Kugel zu erhalten, muss man sich überlegen, welche Eigenschaften die Punkte der Kurve haben müssen. Betrachtet man die Kugel und den Zylinder in einer Ebene, die parallel zur x-y-Ebene ist und den Abstand i zur x-y-Ebene hat, so ist die Kugel ein Kreis und der Zylinder ist ebenfalls ein Kreis mit der Gleichung . Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind dann zwei Punkte der Viviani-Kurve in der Ebene mit Abstand i von der x-y-Ebene. Diese beiden Schnittpunkte kann man in Abhängigkeit von i berechnen zu
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Betrachtet man alle Ebenen parallel zur x-y-Ebene, in denen sich die Kugel und der Zylinder schneiden, lässt man also i von -r bis r laufen, so erhält man alle Punkte der Viviani-Kurve.
Eine Parameterform der Viviani-Kurve ist gegeben durch
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Diese Parameterform wird auch im Folgenden immer benutzt.

Dass diese Parameterform wirklich die Schnittkurve von Kugel und Zylinder beschreibt, kann man beweisen, indem man zeigt, dass diese Parameter gleichzeitig die Kugel- und die Zylindergleichung von oben erfüllt:

Die Parameterform

erfüllt also sowohl die Kugel- als auch die Zylindergleichung und beschreibt deshalb die Schnittkurve. Diese Schnittkurve ist die Viviani-Kurve (Abbildung 3).


Abb. 3: Die Viviani-Kurve

Zusätzlich zum Schnitt von Kugel und Zylinder, entsteht die Viviani-Kurve auch, wie oben schon angesprochen, durch den Schnitt von Kugel und Kegel und den Schnitt von Kegel und Zylinder (Abb. 4).

Abb. 4: links: Viviani-Kurve als Schnitt von Kugel und Kegel
rechts: Viviani-Kurve als Schnitt von Kegel und Zylinder