Die Viviani-Kurve als Schnitt zweier Flächen

Dabei ist eine Ebene eine Fläche 1. Ordnung. Beim Schnitt zweier Flächen X, Y wobei X eine Fläche m-ter Ordnung und Y eine Fläche n-ter Ordnung ist, entsteht eine Kurve mit der Ordnung m*n (vgl. [4], S.38). Dann hat eine Gerade die Ordnung 1, denn sie ergibt sich als Schnitt zweier Ebenen mit den Ordnungen m = n = 1, demnach hat die Schnittkurve die Ordnung m*n = 1*1 = 1. Kurven 2. Ordnung im Raum sind z.B. die Kegelschnitte, denn sie entstehen aus einer Ebene (Ordnung 1) und einem Kegel (Ordnung 2). Allgemein sind alle Kurven, die durch den Schnitt einer Fläche 2. Ordnung mit einer Ebene entstehen, Kurven 2. Ordnung. Die Kurven erster und zweiter Ordnung sind ebene Kurven.

Die Kugel ist eine Fläche der Ordnung 2, da sie 2 Schnittpunkte mit einer Geraden besitzt. Ebenso ist der Zylinder eine Fläche der Ordnung 2, denn auch er besitzt 2 Schnittpunkte mit einer Geraden (Abbildung 1).

Abb. 1: links: Schnitt von Kugel mit Gerade, rechts: Schnitt von Zylinder mit Gerade

Die Viviani-Kurve entsteht wie schon gesagt als Schnitt einer Kugel und eines Zylinders und hat demnach die Ordnung 4.
Für die folgenden Betrachtungen der Viviani-Kurve als Schnittkurve von Zylinder und Kugel vergleiche [10], S.4-5.

Um die Viviani-Kurve zu erhalten, schneidet man die Kugel mit Radius r mit einem Zylinder mit Durchmesser r, dessen eine Mantellinie Tangente an die Kugel ist und dessen gegenüberliegende Mantellinie durch den Kugelmittelpunkt geht. Dieser Zylinder besitzt die Gleichung .
Der Schnitt der Kugel mit dem Zylinder ist in Abbildung 2 dargestellt.