Die Zentralprojektion

Die Zentralprojektion ist eine Projektion von einem Punkt aus. Dieser Punkt heißt Zentrum der Zentralprojektion. Hier wird die Projektion auf eine Kugel und einen Zylinder untersucht, es sind natürlich aber auch andere Projektionsflächen möglich. Um eine Kurve projizieren zu können, muss man sich zunächst die Abbildungsgleichung überlegen. Dazu wird zunächst der Nullpunkt O = (0,0,0) als das Zentrum der Projektion gewählt. Damit ergibt sich für einen Punkt P die folgende Abbildungsgleichung auf einen Punkt P’:
,
wobei mit bzw. der Vektor vom Zentrum O zum Punkt P bzw. P’ bezeichnet.
Der Projektionsstrahl hat also die Gleichung

Um den Skalar s zu bestimmen, muss man die Projektionsfläche wählen.
Hier werden zwei Projektionsflächen besprochen, nämlich Kugel und Zylinder.

1. Kugel mit Radius 1:
Setzt man hier die Abbildungsgleichung ein, so erhält man
.

Für die Bildkurve unter einer Zentralprojektion aus dem Punkt O auf eine Kugel mit Radius 1 ergibt sich damit:
(1)

Beispiel:
Als zu projizierende Kurve wird die Helix gewählt (Abb. 12). Diese wird in allen Beispielen in diesem Kapitel verwendet, um den Unterschied zwischen den Projektionen auf die unterschiedlichen Flächen und mit den verschiedenen Zentren zu verdeutlichen.

Setzt man (1) in die Parameterform der Helix ein, so erhält man die Parameterform der Bildkurve: .
Diese Ergebniskurve ist in Abbildung 13 mit der Kugel, auf die die Helix projiziert wurde, dargestellt. Sie ist wie man sieht eine Spirale auf einer Kugel.

2. Zylinder :
Hier erhält man dann:
.
Für die Bildkurve unter einer Zentralprojektion aus dem Punkt O auf einen Zylinder ergibt sich also:
. (2)

Beispiel:
Das Bild der Helix unter der Zentralprojektion aus dem Punkt O auf den Einheitszylinder ist die Helix selbst. Denn für die Helix. Daher ist x' = x, y' = y und z' = z.
Dies sieht man auch leicht ein, denn die Helix liegt bereits auf dem Zylinder (siehe Abbildung 14).