Damit sind die Voraussetzungen für die Berechnung der Krümmung einer Kurve geschaffen. Wenn nämlich der Tangentenvektor die Länge 1 hat, misst die Norm die Änderungsrate des Winkels zwischen den benachbarten Tangenten und der Tangente bei s. Die Länge gibt somit an, wie schnell sich die Kurve in einer Umgebung von s von der Tangente der Kurve in s wegdreht (vgl. [2], S.14).
Dieses Maß entspricht genau der intuitiven Vorstellung der Krümmung als Abweichung der Kurve von einer Geraden.


(vgl. [2], S.14)

Betrachtet man einen Kreis mit Radius r, so hat er überall konstante Krümmung .
Das kann man leicht nachrechnen:
ist die Parametrisierung des Kreises mit Radius r nach der Bogenlänge. Jetzt muss man die erste und die zweite Ableitung berechnen:

Damit kann man die Krümmung des Kreises berechnen:

Da die Krümmung eines Kreises konstant und über den Radius bekannt ist, kann man die Krümmung einer Kurve in einem Punkt p auch bestimmen als die Krümmung des „bestangepassten“ Kreises in p, wobei der Radius des Kreises orthogonal zu der Tangente in p stehen muss und Radius und Tangente in einer Ebene liegen müssen. Dieser Kreis heißt Krümmungskreis der Kurve.

Beispiel:
Berechnung der Krümmung der Spirale aus dem letzten Beispiel mit der Parametrisierung nach der Bogenlänge:

Damit ist die Krümmung berechenbar zu:

Da die Krümmung nicht mehr von s abhängt, hat auch die Spirale in jedem Punkt die gleiche konstante Krümmung.

Für festes k, z.B. für die Spirale mit k = 3 ist die Krümmung:

Der Radius des Krümmungskreises ist also .
Abbildung 4 zeigt die Spirale mit k = 3 und den Krümmungskreis der Spirale mit r = 1,23. Die graue Gerade ist dabei die Tangente an die Spirale im Kurvenpunkt, M ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises.


Abb. 4: Spirale mit Krümmungskreis