Die Parametrisierung nach der Bogenlänge und die Krümmung einer Kurve

Eine Kurve ist nicht gerade, sondern irgendwie gekrümmt. Man bezeichnet diesen Unterschied zwischen einer Kurve und einer Gerade als Krümmung der Kurve. Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt t ist ein Maß für die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente in t als Gerade mit Krümmung 0. Um die Krümmung einer Kurve berechnen zu können, braucht man eine passende Parametrisierung der Kurve, nämlich so dass der Tangentenvektor in jedem Punkt t der Kurve die Länge 1 hat, also gilt. Der Tangentenvektor heißt dann Einheitstangentenvektor und wird im Folgenden mit bezeichnet.
Eine Kurve, für die der Tangentenvektor in jedem Punkt der Einheitstangentenvektor ist, heißt „nach der Bogenlänge parametrisiert“, denn dann ist der Integrand der Bogenlänge immer 1.
Bevor man die Krümmung einer Kurve berechnen kann, muss man also die Kurve nach ihrer Bogenlänge parametrisieren. Dazu wird zuerst die Länge des Tangentenvektors bestimmt. Die Bogenlänge von 0 bis t ist dann eine Funktion mit einer Konstanten a. Von der Funktion muss man jetzt die Umkehrfunktion bilden, also eine Funktion mit dem Parameter s:
.
Jetzt ersetzt man in der Parametrisierung den Parameter t durch :
.
ist dann die Parametrisierung der Kurve mit dem Bogenlängenparameter s und für diese Parametrisierung hat der Tangentenvektor überall die Länge 1.

Beispiel:
1. Der Kreis in der x-y-Ebene mit der Parametrisierung soll nach der Bogenlänge parametrisiert werden.
Dazu bildet man die erste Ableitung
,
und berechnet dann die Länge des Tangentenvektors

und die Bogenlänge für  = 0
.
Die Umkehrfunktion ist dann
.
In der Parametrisierung des Kreises wird jetzt der Parameter t durch ersetzt und man erhält die folgende Parametrisierung nach der Bogenlänge s:

Jetzt kann man noch die Probe machen, dass tatsächlich für alle s gilt:

2. Die Spirale aus Beispiel 2 mit der Parameterform

soll nach der Bogenlänge parametrisiert werden.

Dazu bildet man wieder die erste Ableitung
,
und berechnet die Länge des Tangentenvektors

und die Bogenlänge für = 0

Die Umkehrfunktion ist dann

In der Parametrisierung der Spirale wird jetzt wieder der Parameter t durch ersetzt und man erhält die folgende Parametrisierung nach der Bogenlänge s:

Jetzt kann man noch die Probe machen, und zeigen, dass tatsächlich für alle s gilt:
und

mit