Die Bogenlänge einer Kurve

Für die geometrische Motivation dieser Definition der Bogenlänge vergleiche [2], S.9, Abschnitt 1.3, Aufgabe 8.

Beispiel:
Betrachte die Spirale mit der Parametrisierung .
Zuerst muss der Tangentenvektor berechnet werden. Dieser ist:

Die Länge des Tangentenvektors berechnet sich dann wie folgt:

Damit ist dann die Länge der Spirale von einem Punkt aus berechenbar durch:

Will man die Länge der Spirale zwischen bestimmten Punkten berechnen, muss man die entsprechenden Parameter und t einsetzen.

Um zum Beispiel die Länge für die Spirale mit k = 3, = 1 und t = 2, also vom Punkt (1,0,3) bis zum Punkt (1,0,6) (siehe Abbildung 3) zu erhalten, setzt man einfach ein:

Die Länge der Spirale vom Punkt (1,0,3) bis zum Punkt (1,0,6) beträgt also etwa 6,9626.