Definition und Erzeugung einer Raumkurve

Bevor die Raumkurven definiert werden können, müssen einige grundlegende Dinge definiert werden, die im Folgenden oft benötigt werden.


Damit sind die nötigen Vorarbeiten erledigt und die Raumkurven können definiert werden.


(vgl. [2], S.2)

Diese Definition einer Raumkurve führt sofort auf die am Häufigsten benutzte Darstellung von Raumkurven, nämlich die Parameterform. Dabei wird ein Parameter auf einen Punkt im Raum abgebildet mittels drei stetig differenzierbaren Funktionen x, y, z:
.
Diese Darstellung heißt eine Parameterform der Raumkurve mit dem Parameter t.
Die Funktionen x, y, z müssen stetig differenzierbar sein, da die Raumkurve als eine stetig differenzierbare Abbildung definiert ist. Im Folgenden wird mit dem Begriff „Kurve“ immer eine Raumkurve gemeint sein und sie wird mit bezeichnet.
Dass der Parameter in der Darstellung t heißt, erinnert an den Zeitparameter in der Physik. Das kommt daher, dass der Parameter t auch als ein Zeitpunkt interpretiert werden kann und der Punkt im Raum, auf den t abgebildet wird ist dann der Ort, an dem sich die Kurve zum Zeitpunkt t befindet.
Das Intervall in der Definition ist keine echte Teilmenge der reellen Achse , der Fall , also wird nicht ausgeschlossen.

Die Bildmenge heißt die Spur von . Die Unterscheidung zwischen einer Abbildung und ihrer Spur ist wichtig, denn für eine Spur existieren mehrere Abbildungen, da verschiedene Abbildungen die gleiche Spur besitzen können.

Beispiel:
Die Kurven
und
haben dieselbe Spur, nämlich den Kreis in der x-y-Ebene mit Radius 1 und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. (Abb. 1)


Abb. 1: Kreis in x-y-Ebene mit Radius 1

Im Folgenden wird mit dem Begriff „Kurve“ immer die Spur der Abbildung gemeint sein, auch wenn die Abbildung selbst als Kurve bezeichnet wird, es wird dabei aber nicht vergessen, dass eine Kurve über verschiedene Parameterformen, also über verschiedene Abbildungen, dargestellt werden kann.