Regelflächen

Regelflächen sind aufgebaut aus Geraden längs einer festen Kurve in variabler Richtung.


(vgl. [2], S.56)

Wählt man u konstant, so sind die v-Linien Geraden im Raum. Die Fläche entsteht also durch Bewegung von Geraden im Raum. Diese Entstehung ist analog zu der Erzeugung einer Kurve durch Bewegung eines Punktes im Raum. Die von V aufgespannten Geraden heißen Erzeugende der Regelfläche, die Kurve heißt Leitkurve der Regelfläche. (vgl. [6], S.56)
In der Technik kommen solche Bewegungen von Geraden häufig vor bei mechanischen Bewegungen aller Art, z.B. bei Roboterbewegungen. (vgl. [6], S.56)
Es werden im Folgenden zwei Beispiele für Regelflächen vorgestellt, dabei ist die Leitkurve jedes Mal ein Kreis, aber es sind natürlich auch andere Kurven als Leitkurven möglich.

Beispiel:

Der Zylinder als Regelfläche
Der Zylinder ist aufgebaut aus Geraden längs eines Kreises (roter Kreis in der Abbildung 17), wobei die Erzeugenden hier orthogonal auf der x-y-Ebene stehen.


Abb. 17: Der Zylinder als Regelfläche

Der Doppelkegel als Regelfläche
Die Leitkurve des Doppelkegels ist ebenfalls ein Kreis (der grüne Kreis in Abbildung 18). Die Erzeugenden verlaufen durch die Kegelspitze und einen Kreispunkt, ihre Richtung ist also im Gegensatz zu den Erzeugenden des Zylinders variabel.
Wählt man hier als Leitkurve keinen Kreis, sondern eine Ellipse, so erhält man einen elliptischen Doppelkegel.


Abb. 18: Der Doppelkegel als Regelfläche

Ein Spezialfall der Regelfläche ist die Tangentenfläche. Hier ist nämlich das Vektorfeld die Menge der Tangentenvektoren .


(vgl. [2], S.65)

Beispiel:

Zur Bestimmung der Parameterform der Tangentenfläche der Spirale

bestimmt man zuerst die erste Ableitung
.
Damit lässt sich dann mit der Formel aus der Definition die Parameterform der Tangentenfläche berechnen:
.
In Abbildung 19 sieht man die Spirale mit ihrer Tangentenfläche, diese so etwas wie eine Schraube oder ein Helikoid.


Abb. 19: Die Spirale mit ihrer Tangentenfläche