Die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform:

Für die weiteren Berechnungen geht man davon aus, dass die Kurve
nach der Bogenlänge parametrisiert ist. In dem Fall gilt dann , damit sind die Matrizen der ersten und zweiten Fundamentalform gegeben durch:

Damit kann jetzt die Weingartenmatrix berechnet werden:

Jetzt kann man die Hauptkrümmungen als Eigenwerte der Weingartenmatrix berechnen:

Die erste Hauptkrümmung ist dabei die Krümmung der ebenen Kurve
.
Damit ist die Gauß-Krümmung und
die mittlere Krümmung


Beispiel:
Berechnung für den Torus aus dem letzten Beispiel mit der Parametrisierung

Hier ist der Kreis in dem Bogenlängenparameter s gegeben als

Dass der Kreis nach der Bogenlänge parametrisiert ist, wird für die Vereinfachung der ersten und zweiten Fundamentalform angenommen, denn es wird bei den Berechnungen benutzt, dass ist und dies gilt nur für Kurven, die nach der Bogenlänge parametrisiert sind. Zur Bestimmung der Krümmungen müssen die erste und zweite Ableitung von r und h berechnet werden:

Damit kann man jetzt berechnen:

Dies entspricht wie oben beschrieben der Krümmung des Kreises , da dieser den Radius 2 hat. Die zweite Hauptkrümmung ist

Damit ist die Gauß-Krümmung und
die mittlere Krümmung

Die Krümmungen des Torus wurden in Abschnitt "Krümmung" in einem Beispiel schon berechnet, um bestimmte Punkte auszuzeichnen. Vergleicht man diese Ergebnisse, mit den hier erhaltenen Ergebnissen, so sieht man, dass die beiden Ergebnisse gleich sind, wenn man wählt. Dies zeigt, dass bei Drehflächen die Berechnung über die oben angegebenen Formeln für die Krümmung korrekt und einfacher ist, da man die Fundamentalformen und die Weingartenabbildung nicht mehr berechnen muss. Die einmalige allgemeine Berechnung reicht also aus und ist für alle Drehflächen gleich.