Drehflächen

Die Definition passt zu der Beschreibung einer Drehfläche, als Fläche, die aus Kreisen aufgebaut ist deshalb, weil durch die Drehung einer ebenen Kurve um eine Achse für jeden Punkt der Kurve ein Kreis in der Drehfläche entsteht.

Beispiel: Der Torus ((2cos(u)+4)cos(v),(2cos(u)+4)sin(v),2sin(u)) entsteht durch Rotation des Kreises (2cos(t)+4,0,2sin(t)) um die z-Achse (Roter Kreis in der Abbildung 15, dass der Kreis nicht in der x-z-Ebene zu liegen scheint, liegt an der Perspektive in der das Bild gemacht wurde). Der Torus ist also aufgebaut aus Kreisen, die in Ebenen parallel zur x-y-Ebene liegen, mit variablem Radius und dem Mittelpunkt auf der z-Achse. In Abbildung 16 sieht man beispielhaft zwei der Kreise mit variablem Radius und Mittelpunkt auf der z-Achse (blaue Kreise). Das Raster in der Abbildung 16 zeigt den Aufbau des Torus aus zwei Arten von Kreisen, einmal dem um die z-Achse rotierenden Kreis (rot) und außerdem die Kreise in Ebenen parallel zur x-y-Ebene (blau), aus denen eine Drehfläche nach Definition 12 besteht.

Abb. 15: Torus als Rotationsfläche Abb. 16: Aufbau des Torus aus Kreisen

Ist eine ebene Kurve gegebenen, so lässt die Drehfläche eine Parametrisierung der Form
(vgl. [6], S.50)
zu.

Im letzten Beispiel des Torus gilt dies, denn für den Kreis gilt
.
Da der Kreis eine Kurve in der x-z-Ebene ist, hat er also die Parameterform und damit hat der Torus die geforderte Parameterform

Drehflächen kommen in verschiedenen Disziplinen vor in denen Drehvorgänge auftreten, z.B. im Maschinenbau oder in der Physik. Dabei erleichtert die Rotationssymmetrie die nötigen Berechnungen. Außerdem ist eine Drehfläche nach der Definition invariant unter allen Drehungen um die Achse, um die die ebene Kurve zur Erzeugung der Drehfläche rotiert. (vgl. [6], S.50-51)

Da jede Drehfläche eine Parametrisierung der Form

zulässt, kann man Größen wie die Fundamentalformen oder die Ableitungen für alle Drehflächen gemeinsam berechnen.

Hier werden im Folgenden die Ableitungen, der Normalenvektor, die erste und zweite Fundamentalform, die Weingartenabbildung und die Krümmungen für Drehflächen berechnet. In die entstehenden Formeln müssen dann für eine spezielle Drehfläche nur noch die entsprechenden Größen eingesetzt werden, die Rechnung ist also für alle Drehflächen nur einmal nötig. Zur Vereinfachung wird bei den Berechnungen mit r die Funktion r(u) und mit h die Funktion h(u) gemeint sein (für die Berechnungen vgl. [6], S.51 – 52).

Die ersten partiellen Ableitungen:

Die zweiten partiellen Ableitungen:

Die Koeffizienten der ersten Fundamentalform:

Der Normalenvektor: