Um die Krümmung einer Fläche X allgemein zu bestimmen, sind nach der Definition mehrere Schritte nötig. Denn die Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte der Weingartenmatrix und um die Weingartenmatrix berechnen zu können, muss man folgende Schritte durchführen:

1. Berechnen der ersten partiellen Ableitungen

2. Berechnen des Normalenvektors

3. Berechnen der Matrix der ersten Fundamentalform

4. Berechnen der zweiten partiellen Ableitungen

5. Berechnen der Matrix der zweiten Fundamentalform

6. Berechnen der Inversen der Matrix der ersten Fundamentalform

7. Berechnen der Matrix der Weingartenabbildung

Damit können dann die Hauptkrümmungen als Eigenwerte der Weingartenabbildung bestimmt werden und mit den beiden Hauptkrümmungen können die Gauß-Krümmung und die mittlere Krümmung berechnet werden.

Da für die Berechnung der Krümmung einer Fläche also immer die gleichen Schritte durchgeführt werden müssen und die Zwischenergebnisse je nach Fläche zu groß und zu unhandlich sein können, um von Hand rechnen zu können, lohnt es sich, ein Computerprogramm dafür zu schreiben, so dass ein Computeralgebra-System (CAS) die Berechnungen durchführt.

Das Programm in dem folgenden Link ist die Abfolge von Befehlen für das CAS Matlab, das die Krümmung einer Fläche berechnet:

Um die Krümmung mit Hilfe des Programms berechnen zu können, muss man die Parameterform der gewählten Fläche in Parameterform eingeben. Dazu wird man zuerst nach der Funktion x, dann nach y und schließlich nach z gefragt. Die Funktionen müssen jeweils in den Parametern u und v eingegeben werden.
Das Programm gibt einige Zwischenschritte aus, wie den Normalenvektor, die Matrizen der ersten und zweiten Fundamentalform und die der Weingartenmatrix. Am Ende der Ausgabe stehen dann die beiden Eigenwerte der Weingartenmatrix als Hauptkrümmungen der Fläche als auch die Gauß-Krümmung und die mittlere Krümmung.

Beispiele für den Ablauf des Programms:
1. Berechnung der Krümmung des Zylinders
Dazu muss in dem Matlab-Programm die folgende Eingabe geschehen:

x eingeben: cos(u)
y eingeben: sin(u)
z eingeben: v

Die Ausgabe des Programms ist dann die Folgende:

Hauptkrümmungen: k1: -1 k2: 0
Gauß-Krümmung: 0
Mittlere Krümmung: -1/2

2. Berechnung der Krümmung des zweischaligen Hyperboloids

Dazu muss in dem Matlab-Programm die folgende Eingabe geschehen:

x eingeben:sqrt(-1+v^2)*cos(u)
y eingeben:sqrt(-1+v^2)*sin(u)
z eingeben:v

Das Programm berechnet damit folgende Krümmungen:

Hauptkrümmungen: k1: -1/(-1+2*v^2)^(1/2) k2: -1/(1-4*v^2+4*v^4)*(-1+2*v^2)^(1/2)

Gauß-Krümmung: 1/(-1+2*v^2)^2

Mittlere Krümmung: -v^2/(-1+2*v^2)^(3/2)

Schaut man sich in der Ausgabe des Programms die Zwischenschritte der Berechnung an, so kann man sehen, dass die Zwischenberechnungen kompliziert werden können, das Ergebnis aber etwas einfacher ist. Schöner dargestellt ergibt sich nämlich für die Krümmungen:
Hauptkrümmungen:
Gauß-Krümmung
Mittlere Krümmung
Hier hängt die Krümmung noch von dem Parameter v ab. Für verschiedene v, also für verschiedene Punkte des zweischaligen Hyperboloids erhält man also unterschiedliche Krümmungen.