Die Krümmung von Flächen

Das kann man sich so vorstellen, dass man die Fläche mit einer Ebene schneidet, die durch einen Tangentenvektor und den Normalenvektor aufgespannt ist. Das Ergebnis ist eine Raumkurve und die Krümmung der Fläche in Richtung dieses Tangentenvektors ist dann genau die Krümmung der Kurve, die ja schon im Kapitel "Parametrisierung nach der Bogenlänge und Krümmung" bei den Kurven behandelt wurde. In Abbildung 9 sieht man, dass die Ebene, die durch einen Tangentenvektor und den Normalenvektor aufgespannt wird, die Kugel in einem Kreis schneidet. Die Krümmung des Kreises ist dann die Krümmung der Kugel in Richtung des Tangentenvektors.

Abb. 9: Krümmung der Kugel

Da eine Fläche zwei Tangentenvektoren in einem Punkt besitzt, erhält man für eine Fläche auch zwei Krümmungen für jeden Punkt. Diese beiden Krümmungen heißen die Hauptkrümmungen und der Fläche in dem betreffenden Punkt.

Man kann die beiden Hauptkrümmungen, wie schon angesprochen, berechnen über die Krümmung der beiden Kurven, die beim Schnitt mit den zwei durch jeweils einen Tangentenvektor und den Normalenvektor aufgespannten Ebenen entstehen.
Ein weniger umständlicher Weg zur Berechnung der Krümmung ist die Bestimmung der Hauptkrümmungen und als Eigenwerte der Matrix L der Weingartenabbildung, die je eben genau für die äußere Geometrie von Flächen eingeführt wurde. Außer den Hauptkrümmungen sind noch zwei weitere Krümmungsbegriffe für Flächen definiert.

Da eine Fläche in einem Punkt je nach Parametrisierung verschiedene Paare von Tangentenvektoren hat, die jeweils orthogonal zueinander sind, da ja alle Elemente der Tangentialebene Tangentenvektoren an die Fläche sind, kann eine Fläche auch verschiedene Paare von Hauptkrümmungen in einem Punkt haben. Deshalb ist es wichtig, die Krümmung einer Fläche immer als ihre Krümmung in Richtung eines Tangentenvektors zu verstehen.

Eine Kugel hat konstante Krümmung in Richtung jedes Tangentenvektors, da bei dem Schnitt mit einer Ebene, die von einem Tangentenvektor und dem Normalenvektor aufgespannt ist, immer ein Kreis herauskommt. Die Krümmung eines Kreises wurde im Kapitel "Parametrisierung nach der Bogenlänge und Krümmung" als Konstante 1/r bestimmt, wobei r der Kreisradius ist. Da jeder dieser Schnittkreise einer Kugel mit der Ebene, die von einem Tangentenvektor und dem Normalenvektor aufgespannt ist, auf der Kugel liegt und den gleichen Mittelpunkt wie die Kugel hat, haben die Schnittkreise auch alle den gleichen Radius wie die Kugel. Damit haben alle Schnittkreise den konstanten Radius 1/r, wenn die Kugel den Radius r hat. Das bedeutet, dass die Kugel in Richtung jedes Tangentenvektors die konstante Krümmung 1/r hat. Für eine Kugel gilt also immer:


Da eine Kugel konstante Krümmung hat, kann man analog zu den Krümmungskreisen von Kurven für Flächen Krümmungskugeln definieren als Kugeln mit dem Radius , die sich in einer Umgebung von p möglichst gut in die Fläche einpassen. Da eine Fläche zwei Hauptkrümmungen hat, besitzt die Fläche auch in jedem Punkt zwei Krümmungskugeln. Diese beiden Kugeln, deren Radius die Hauptkrümmungen bestimmt, haben die Eigenschaft, dass sie die beiden Kugeln mit dem größtem und dem kleinstem Radius aller möglichen Krümmungskugeln sind.

Beispiel:
Ein einfaches Beispiel für eine Fläche mit Krümmungskugeln ist der Zylinder mit der Parameterform .
Da der Schnitt des Zylinders mit der Ebene, die durch einen Tangentenvektor und den Normalenvektor aufgespannt ist, eine Gerade ist und eine Gerade die Krümmung 0 hat, ist auch eine Hauptkrümmung des Zylinders 0. Für den Zylinder muss also nur noch eine Krümmungskugel berechnet werden. Auch dies ist im Fall des Zylinders einfach, denn der Schnitt des Zylinders mit der Ebene, die durch den anderen Tangentenvektor und den Normalenvektor aufgespannt ist, ist ein Kreis. Da ein Kreis die konstante Krümmung 1/r hat, wobei r der Kreisradius ist, hat auch der Zylinder in Richtung dieses Tangentenvektors die Krümmung 1/r und damit ist r der Radius der Krümmungskugel. In Abbildung 10 ist der Zylinder mit seiner Krümmungskugel dargestellt.