Die Koordinatenkurven einer Fläche müssen aber nicht alle von der gleichen Art sein. Bei der Kugel waren alle Koordinatenkurven Kreise. Beim Doppelkegel (Abbildung 7) sind die Koordinatenkurven, die durch konstant setzen von v und laufen lassen von u entstehen, Kreise parallel zur x-y-Ebene. Die Koordinatenkurven, die durch konstant setzten von u und laufen lassen von v entstehen sind Geraden. Hier liegen also zwei verschiedene Arten von Koordinatenkurven vor, nämlich für den Parameter u Kreise und für den Parameter v Geraden.

Abb. 7: Kegel mit Koordinatenkurven


Der Doppelkegel hat die allgemeine Parameterform . Damit berechnen sich die partiellen Ableitungen zu

Und damit lassen sich die Koeffizienten der ersten Fundamentalform berechnen:

Hieran sieht man, dass F = 0 gilt für a = b. Der Kegel in Abbildung 7 hat die Parameterform , es gilt also a = b = c = 1 und damit F = 0. In diesem Fall stehen die Koordinatenkurven also orthogonal aufeinander.

Wählt man aber z.B. a = 1, b = 2 und c = 2, erhält man einen Doppelkegel mit einer Ellipse als Grundfläche (Abbildung 8).


Abb. 8: Doppelkegel mit a = 1, b = 2 und c = 2

Hier ist:

Damit kann man den Winkel zwischen zwei Koordinatenkurven in einem Punkt berechnen. Dazu wählt man einen beliebigen Punkt auf dem Kegel.
Hier z.B. mit u = 1 und v = 3, erhält man den Punkt (1,62; 5,05; 6) (auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet), das ist der blaue Punkt in Abbildung 8.
Berechnung des Winkels zwischen den Koordinatenkurven im Punkt (1,62; 5,05; 6) (Alle Ergebnisse sind auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet):
Mit u = 1 und v = 3 ist


Damit ist:

Jetzt kann der Winkel zwischen den Koordinatenkurven des Doppelkegels im Schnittpunkt (1,62; 5,05; 6) berechnet werden und es ergibt sich:

Die erste Fundamentalform sagt nur für die innere Geometrie einer Fläche etwas aus, über die äußere Geometrie kann man mit ihrer Hilfe nichts erfahren. Zusätzlich zu den inneren Eigenschaften, interessieren aber auch äußere, wie zum Beispiel die Krümmung einer Fläche. Dazu muss man aber wissen, wie die Fläche im Raum liegt, man braucht also Informationen über den umgebenden . Für die äußere Geometrie einer Fläche benötigt man deshalb die so genannte zweite Fundamentalform.


(vgl. [2], S.103)