Für t = 1 erhält man die Länge der Spirale zwischen dem Punkt (der untere blaue Punkt in Abbildung 4) und dem Punkt (der obere blaue Punkt in der Abbildung 4):

Die Länge der Spirale hängt also noch von dem Parameter v ab.


Abb. 4: Bogenlänge der Spirale zwischen den blauen Punkten


Mit Hilfe der ersten Fundamentalform ist es auch möglich, den Winkel zwischen zwei Kurven auf der Fläche X, die sich in einem Punkt = t schneiden, zu berechnen.
Allgemein wird dieser Winkel berechnet durch
(vgl. [2], S.78)
.


Beispiel:

Der Winkel zwischen der Parabel
und dem Kreis

soll berechnet werden.
Beide Kurven liegen auf dem Kegel

(Abbildung 5).

Ein Schnittpunkt der beiden Kurven ist der Punkt
(2,236; -1,9998; 3) mit
t = 2,236.


Abb. 5: Schnitt von Parabel und Kreis auf Kegel mit Schnittpunkt (blau)

Die Ableitungen der Kurven berechnen sich dann zu:

Und damit ist
.
Für den Schnittpunkt t = 2,236 ergibt sich dann und damit für den Schnittwinkel zwischen und
im Punkt t = 2,236:
.

Sind die Kurven und Koordinatenkurven einer Fläche X, so ist der Winkel zwischen ihnen gegeben durch
(vgl. [2], S.78).

Eine Koordinatenkurve einer Fläche X ist dabei eine Kurve auf X, deren Tangente an in einem Punkt p auch Tangente in p an X ist. Die Kurve und die Fläche haben also in allen Punkten der Kurve eine gemeinsame Tangente.
Jede Fläche hat zwei verschiedene Arten von Koordinatenkurven, nämlich die Kurven, die entstehen, wenn man einen Parameter konstant setzt.
Setzt man im Beispiel der Kugel (Abbildung 6) den Parameter v konstant und lässt nur den Parameter u laufen, so erhält man die Kreise auf der Kugel, die parallel zur x-y-Ebene sind. In der erdkundlichen Sprache (wenn man die Kugel als Weltkugel nimmt) sind dies die Breitenkreise. Setzt man den Parameter u konstant und lässt nur den Parameter v laufen, erhält man alle Kreise auf der Kugel, die durch die beiden Pole verlaufen, also die Längenkreise.

Ist F = 0, so ist dies äquivalent dazu, dass die beiden Kurven orthogonal zueinander sind.
Im Beispiel der Kugel sind alle Koordinatenkurven, die sich in einem Punkt schneiden (die also nicht parallel sind) orthogonal. Denn mit der Parameterform der Kugel
ist

und
. Damit ist

Abb. 6: Kugel mit ihren Koordinatenkurven

Für die Kugel ist also immer F = 0, unabhängig von den betrachteten Kurven, und damit sind alle Koordinatenkurven der Kugel zueinander orthogonal.