Die Normalformen und die Weingartenabbildung einer Fläche

Um Messungen auf einer Fläche durchführen zu können, wie z.B. die Länge einer Kurve auf der Fläche, den Winkel zwischen Kurven auf der Fläche oder den Flächeninhalt von Gebieten, benötigt man die so genannte erste Fundamentalform. Diese erlaubt das Studium der inneren Geometrie von Flächen, also Berechnungen innerhalb der Fläche, ohne sich auf den umliegenden Raum beziehen zu müssen.

Die erste Fundamentalform ist eine quadratische Form auf der Tangentialebene der Fläche X und ist ein Ausdruck dafür, wie die Fläche X das natürlich Skalarprodukt des erbt. Sie gibt also an, wie Berechnungen in der Fläche definiert sind und durchgeführt werden können.

Die erste Fundamentalform kann als Parametrisierung ausgedrückt werden. Für die Berechnungen innerhalb einer Fläche benötigt man nur die Koeffizienten der Parametrisierung. Diese sind definiert als:

(vgl. [2], S.76)
Im Folgenden werden nur noch die Koeffizienten E, F und G und die damit beschriebene Matrix der ersten Fundamentalform

benötigt. Es reicht also aus, die ersten partiellen Ableitungen zu berechnen, um die Koeffizienten der ersten Fundamentalform zu bestimmen, wie genau die erste Fundamentalform aussieht, ist demnach nicht mehr von Interesse.

Wie bereits erwähnt, kann man mit Hilfe der Koeffizienten der ersten Fundamentalform metrische Fragen auf einer Fläche behandeln, ohne sich auf den beziehen zu müssen.

So ist z.B. die Bogenlänge s einer parametrisierten Kurve auf der Fläche X (hier ist die Kurve keine Abbildung in den gesamten mehr!) gegeben durch
(vgl. [2], S.78)
Im Spezialfall, dass man die Fläche auf die Kurve reduzieren kann, also dass
gilt,
kann man die Bogenlänge der Kurve berechnen mit
. (vgl. [2], S.78)

Die Parameter u und v sind hierbei wegen Funktionen in t. Es müssen also nur die Koeffizienten der ersten Fundamentalform über die ersten partiellen Ableitungen berechnet und eingesetzt werden. Die Summe unter der Wurzel im Integranden ist dann nur noch von dem Parameter t abhängig und kann damit berechnet werden, wie in den folgenden Beispielen gezeigt wird.

Beispiel:
Länge einer Spirale auf einem Kegel

Parameterform der betrachteten Spirale: Parameterform des Kegels: Um die Bogenlänge mit Hilfe der Koeffizienten der ersten Fundamentalform berechnen zu können, muss man wieder Funktionen u(t), v(t) in t finden, so dass gilt: . Hier gilt , also und . Damit kann man berechnen:

Abb. 3: Spirale auf einem Kegel

und
und

Jetzt sind alle Größen vorhanden, die für die Berechnung der Bogenlänge nötig sind. Dann ist