Definition und Tangentialebene von Flächen

Eine Kurve ist eine Abbildung eines Intervalls in den Raum. Man kann sich eine Kurve also als ein eindimensionales Gebilde im Raum vorstellen. Eine Fläche ist verglichen mit der Kurve ein zweidimensionales Gebilde im Raum. Daher ist folgenden Definition einer Fläche intuitiv.


(vgl. [2], S.65)

Eine Fläche wird im Folgenden, wie die Kurven auch, dargestellt in Parameterform

als stetig differenzierbare Abbildung mit drei stetig differenzierbaren Funktionen x, y und z in den beiden Parametern . Das Parametertupel wird also abgebildet in einen räumlichen Punkt .
Dabei ist das Bild von wie bei den Kurven die Spur der Fläche. Unterschiedliche Abbildungen können auch hier ein und dieselbe Spur haben. Sowohl die Spur als auch die Abbildung werden im Folgenden mit Fläche bezeichnet, dabei wird aber nicht vergessen, dass eine Fläche verschiedene Parametrisierungen haben kann.

Auch bei Flächen bestimmt die erste Ableitung die Tangente an eine Fläche und damit die Steigung der Fläche in dem entsprechenden Punkt. Allerdings hat die Fläche zwei Parameter und damit keine „eindeutige“ erste Ableitung mehr, sondern zwei partielle erste Ableitungen, eine nach u und eine nach v.

Diese beiden ersten partiellen Ableitungen werden im Folgenden mit:
und
bezeichnet.
Eine Fläche besitzt also mit den beiden partiellen Ableitungen auch zwei Tangentenvektoren, die orthogonal aufeinander stehen.
Die beiden Tangentenvektoren spannen eine Ebene auf, die so genannte Tangentialebene. Für die weiteren Berechnungen und Eigenschaften, muss für eine Fläche in jedem Punkt die Tangentialebene existieren. Damit die Tangentialebene in jedem Punkt der Fläche existiert, müssen die beiden Tangentenvektoren und linear unabhängig sein. Außerdem muss die Tangentialebene in jedem Punkt eindeutig sein, damit Selbstüberschneidungen und Berührungen wie in Abbildung 2 ausgeschlossen werden (vgl. [2], S.45). Flächen, für die eine eindeutige Tangential-ebene in jedem Punkt existiert, heißen reguläre Flächen.
Die Flächen in Abbildung 2 sind nicht regulär.
Abb. 2: Nicht reguläre Flächen (erstellt mit Cinema 4D) (vgl. [5], S. 24 - 25)


Im Folgenden werden nur noch reguläre Flächen betrachtet, der Einfachheit halber werden sie aber nur noch „Flächen“ genannt.

Die Tangentialebene in einem Punkt enthält alle Tangentenvektoren an die Fläche in diesem Punkt. Bei verschiedenen Parametrisierungen einer Fläche X, entstehen auch verschiedene Tangentenvektoren und als erste partielle Ableitungen. Alle unterschiedlichen Tangentenvektorenpaare sind zueinander orthogonal und in der Tangentialebene enthalten, die Tangentialebene einer Fläche X in einem Punkt ist also unabhängig von der Parametrisierung der Fläche eindeutig bestimmt.

Wenn die Tangentialebene in jedem Punkt einer Fläche X existiert, so existiert auch in jedem Punkt der Fläche der Normalenvektor

der Fläche X im Punkt (vgl. [H6], S.63). Der Normalenvektor der Fläche ist in dem Fall auch der Normalenvektor der Tangentialebene und damit eindeutig bestimmt, denn eine Ebene hat in einem Punkt eine eindeutige Normale. Der Normalenvektor ist ein Einheitsvektor. Das erkennt man schon an der Definition, da durch seine Länge geteilt wird.